Dès l'âge de 4 ans, Antoine Hastoy développe une passion pour le rugby, en regardant les matchs internationaux à la télévision. Avant de pouvoir débuter le rugby, il pratique d'autres sports comme la gymnastique, la natation et le judo. À 6 ans, il commence le rugby au RC Billère ASPTT Lescar. Après un déménagement à Garlin, il rejoint le centre de formation de la Section paloise à partir des minimes en 2011. Durant cette période, il se lie d'amitié avec Lucas Rey, un autre joueur prometteur. Hastoy évolue au poste d'ouvreur, et son modèle de jeunesse est Dan Carter.

Il commence sa carrière professionnelle avec la Section paloise en 2016 lors d'un match de Top 14 contre le Racing 92. À partir de la saison 2018-2019, il devient un titulaire régulier malgré la présence de joueurs expérimentés comme Colin Slade. En 2020-2021, il se distingue en terminant troisième meilleur réalisateur du Top 14 avec 280 points inscrits. Il est également appelé pour la première fois en équipe de France pour la tournée en Australie en 2021.

En 2022, Antoine Hastoy quitte la Section paloise pour rejoindre le Stade rochelais. Dès sa première saison avec La Rochelle, il contribue à la victoire de son équipe en Champions Cup 2023, inscrivant douze points lors de la finale contre le Leinster. Il termine également meilleur réalisateur de la compétition avec 97 points.

Au niveau international, Antoine Hastoy a gravi les échelons des équipes de jeunes françaises avant d'obtenir sa première sélection avec le XV de France en 2021. Il participe ensuite à plusieurs matchs de test et est convoqué pour la préparation de la Coupe du monde 2023. À la suite de la blessure de Romain Ntamack, il est confirmé dans la liste des 33 joueurs pour représenter la France lors de la compétition.

Antoine Hastoy est un joueur polyvalent et technique, reconnu pour ses talents de buteur et son jeu d'attaque intelligent, ce qui lui vaut une place de choix au sein du rugby français.