Il débute sa carrière au Club Newman dans le championnat amateur de Buenos Aires en 2013, tout en représentant la province des Pampas XV avec laquelle il remporte la Pacific Rugby Cup en 2015. En 2016, il rejoint les Jaguares et participe au Super Rugby jusqu’en 2020. Finaliste de cette compétition en 2019, il s’impose comme un élément clé de la franchise argentine. En 2021, après l’exclusion des Jaguares du Super Rugby, il rejoint Leicester en Angleterre. Avec les Tigers, il remporte le championnat d’Angleterre en 2022 après une finale intense contre les Saracens. Lors de la saison 2022-2023, il est nommé dans l’équipe-type de la Premiership grâce à ses performances remarquables.

Avec l’équipe nationale, Montoya fait ses débuts en 2014 lors d’un match contre l’Uruguay. Il participe à plusieurs éditions du Rugby Championship et aux Coupes du monde 2015, 2019, et 2023. Capitaine des Pumas depuis 2021, il mène son équipe avec succès, notamment lors de la Coupe du monde 2023 où il joue six matchs en tant que titulaire. Montoya est reconnu pour son leadership et son efficacité, ayant inscrit 12 essais en 96 sélections à ce jour.