Il commence le rugby à Versailles à l’âge de six ans, suivant une tradition familiale. Plus tard, il rejoint le RC Massy, où il se forme tout en intégrant le pôle espoirs du lycée Lakanal à Sceaux. Reconnu comme un grand espoir du rugby français, il est nommé meilleur espoir francilien en 2019 par Le Parisien. En 2020, il signe un contrat avec le Stade français, où il débute en Top 14 en 2021. Ses performances constantes lui valent une prolongation de contrat jusqu'en 2029.

En sélection, Léo Barré est repéré dès les catégories jeunes et se distingue lors de la tournée des moins de 18 ans en Afrique du Sud en 2019. Il participe ensuite à plusieurs compétitions avec les moins de 20 ans, développant son leadership et son expérience internationale. En 2024, il connaît ses premières sélections avec le XV de France lors du Tournoi des Six Nations, où il marque son premier essai contre l’Angleterre.