Dès son plus jeune âge, Aldegheri commence le rugby à Blagnac, un choix fait par ses parents qui cherchaient à lui faire pratiquer un sport. Très tôt, il rejoint le Stade toulousain à l’âge de six ans. Il passe par toutes les catégories de jeunes du club, remportant plusieurs titres de champion de France en minimes et cadets. C'est en 2013 qu'il fait ses débuts en équipe première lors d'un match de Top 14 contre le Racing Metro 92. Malgré des débuts timides en termes de temps de jeu, il parvient à convaincre ses entraîneurs et devient un joueur clé, aux côtés de ses coéquipiers de formation comme Cyril Baille et Julien Marchand.

Après quelques saisons à peaufiner son jeu, Aldegheri devient l'un des piliers droits les plus fiables du Top 14. En 2019, il remporte son premier titre de champion de France avec le Stade toulousain, un succès suivi par de nombreux autres. Il décroche notamment la Coupe d'Europe en 2021 et 2024, ainsi que plusieurs titres de Top 14, en 2019, 2021, 2023, et 2024. Sa progression est freinée par des blessures, notamment une rupture des ligaments croisés en 2019, mais il revient plus fort après chaque épreuve.

En parallèle, Dorian Aldegheri connaît ses premières sélections en équipe de France en 2019 lors du Tournoi des Six Nations. Bien qu'il ait manqué la Coupe du monde 2019 à cause de sa blessure, il reste un joueur important pour les Bleus, participant à plusieurs éditions du Tournoi des Six Nations et à la Coupe du monde 2023.

Avec son solide jeu en mêlée et son rôle essentiel au sein du Stade toulousain, il a contribué aux succès récents du club et s'est forgé une réputation de pilier droit incontournable en France.