Issu d'une famille d'origine italienne et lituanienne, Gazzotti commence le rugby au FC Aix-les-Bains, avant de rejoindre le RCS Rumilly puis le FC Grenoble en 2019. Il se fait rapidement remarquer pour ses performances en équipe de France des moins de 18 ans, notamment lors du Festival des Six Nations où il est sélectionné dans le XV type de la compétition. Il prolonge alors son contrat avec Grenoble jusqu'en 2024.

En octobre 2022, à seulement 18 ans, Gazzotti fait ses débuts en Pro D2 avec Grenoble. Il est appelé pour le Tournoi des Six Nations des moins de 20 ans en 2023, où il se distingue comme titulaire. Grâce à ses performances remarquables, il est rapidement convoité par plusieurs clubs de Top 14. À la fin de la saison, son club atteint la finale de Pro D2 mais échoue contre Oyonnax. Peu après, Gazzotti participe au Championnat du monde junior en Afrique du Sud avec l'équipe de France des moins de 20 ans. Il se distingue en finale contre l'Irlande, où il est élu homme du match, et termine la compétition en étant sacré meilleur joueur du tournoi.

À l'issue de sa première saison professionnelle, Gazzotti est transféré à l'Union Bordeaux Bègles. Il joue son premier match de Top 14 lors de la saison 2023-2024 contre le Racing 92, mais se fracture le pouce, le rendant indisponible pour deux mois. Il marque son premier essai sous le maillot de l'UBB en décembre 2023 contre le Lyon OU. En janvier 2024, il est appelé pour le Tournoi des Six Nations des moins de 20 ans, mais reste finalement avec son club pour pallier des blessures dans l'effectif. En février 2024, il est convoqué en équipe de France pour la première fois, en remplacement de Grégory Alldritt.

Marko Gazzotti a déjà un palmarès impressionnant pour son jeune âge, avec notamment une victoire au Championnat du monde junior en 2023, où il a été élu meilleur joueur de la compétition.