Il commence à jouer au rugby en 2010 au club Rugby Trévoux Châtillon, avant de rejoindre en 2014 l'Union sportive bressane Pays de l'Ain, où il fait ses premiers pas en Fédérale 1. Ses performances lui permettent de se faire remarquer, et il signe avec l'Union Bordeaux Bègles au début de la saison 2021-2022. En 2022, il prolonge son contrat avec le club bordelais jusqu'en 2025, confirmant ainsi sa progression dans l'élite du rugby français.

Le 28 juin 2024, Pierre Bochaton participe à la finale du Top 14, organisée au Stade Vélodrome de Marseille, où Bordeaux affronte le Stade toulousain. Bien que remplaçant, il assiste à la large victoire des toulousains sur un score de 59 à 3, malgré les efforts de son équipe.

Bochaton a également représenté la France en équipe des moins de 20 ans en 2021, où il a disputé cinq matchs et inscrit un essai. Joueur prometteur, il continue de s'affirmer comme un élément clé de son club et vise de plus grandes performances à l'avenir.